Funções Logarítmica e Exponencial

• LOGARITMOS

Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y =

Os valores deaproximam-se a e

x
1	2	2,000000
10	1,1	2,593742
100	1,01	2,704814
1000	1,001	2,716924
10.000	1,0001	2,718146
100.000	1,00001	2,718268
1.000.000	1,000001	2,718280

O fato de que y = e, quando x e quando x é expresso pelos limites
  e   
A função exponencial f (x) = é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação expressa como
exp(+) = exp() exp()
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função com alguma variação do comando EXP.

Funções Logarítmica e Exponencial

Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.
   

• EXPOENTES IRRACIONAIS

Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por

Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como

Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de    isto é,
3,1;   3,14;   3,141;   3,1415;   3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:

Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.            

Tabela

x
3	8,000000
3,1	8,574188
3,14	8,815241
3,141	8,821353
3,1415	8,824411
3,14159	8,824962
3,141592	8,824974

• A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são 
f (x) = ,         f (x) = ,      f (x) =  
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e  f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.
Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

      

OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

Funções Logarítmica e Exponencial

• GRÁFICO DAS FUNÇÕES INVERSAS         

O próximo objetivo é explorar as relações entre os gráficos de f e . Com esse propósito, será desejável usar x como a variável independente para ambas as funções, o que significa estarmos comparando os gráficos de y = f(x) e y = (x).
Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b = f(a). Isto é equivalente à afirmativa que a = (b), a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico de y = (x). Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um ponto no gráfico de . Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de produz um ponto no gráfico de  f . Contudo, o efeito geométrico de inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto sobre a reta y = x (figura 1), e logo os gráficos de y = f(x) e y = (x) são um do outro em relação a esta reta (figura 2). Em resumo, temos o seguinte resultado.

Se f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y = (x) são reflexões um do outro em relação a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta.

             

• FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES TÊM INVERSAS        

Se o gráfico da função f  for sempre crescente ou sempre decrescente sobre o domínio de f, então este gráfico pode ser cortado, no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal e, conseqüentemente, a função f deve ter uma inversa. Uma forma de dizer se o gráfico de uma função é crescente ou decrescente em um intervalo é pelo exame das inclinações de suas retas tangentes. O gráfico de f deve ser crescente em qualquer intervalo, onde f'(x)>0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação positiva) e deve ser decrescente em qualquer intervalo onde f'(x)<0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação negativa). Essas observações sugerem o seguinte teorema.

Se o domínio de f  for um intervalo no qual f' (x)>0 ou no qual f'(x)<0, então a função f tem uma inversa.

Exemplo
O gráfico de f(x) = é sempre crescente em , uma vez que

para todo x. Contudo, não há maneira fácil de resolver a equação y = para x em termos de y; mesmo sabendo que f tem uma inversa, não podemos produzir uma fórmula para ela.
OBSERVAÇÃO. O que é importante entender aqui é que a nossa incapacidade de achar uma fórmula para a inversa não nega a sua existência; de fato, é necessário que se desenvolvam formas de achar propriedades de funções, as quais não têm fórmula explícita para se trabalhar com elas.