Integral
17/11/2012
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano[1] e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. [carece de fontes]
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência
de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem
porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma
definição, mas não podem segundo outra.[1]
A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.
Índice |
Definição formal e notação
Integral definida
Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como[2]:Em linguagem matemática | Em Português |
---|---|
S é a integral da função |
|
Onde |
Em linguagem matemática | Em Português |
---|---|
A integral de |
|
onde |
comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números |
onde |
Valor ("altura") da função |
Integral indefinida
Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida [4] [5]:se e somente se
, ou, o que é a mesma coisa,
Relação entre integral definida indefinida
A integral definidaTeorema fundamental do Cálculo
O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:
Passo-a-Passo
Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.Fórmula das Primitivas
Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.
- No intervalo (0,3)
Aplicação do teorema fundamental do Cálculo
Exemplos de integração
Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:(Integral da função constante)
(Integral da função f(x) = x )
Definições de integral
Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo- Soma de Riemann
- Integral de Riemann
- Integral de Lebesgue
- Integral de Riemann-Stieltjes
- Integral de Henstock–Kurzweil ou integral de Gauge
Notas
- ↑ a b Charles Doss, An Introduction to the Lebesgue Integral, [em linha]
- ↑ a b Stewart (2002), p. 378.
- ↑ W3C (2006), Arabic mathematical notation (em inglês)
- ↑ Piskounov, Nikolai Semenovich; Cálculo Diferencial e Integral; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.
- ↑ Stewart (2002), p. 401.
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