Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

Luiz Fernando Ziul

Para esta de­mons­tração, uti­li­zamos o con­ceito de in­te­gral de­fi­nida. Vamos supor a cir­cun­fe­rência abaixo com centro na origem:

Se ro­ta­ci­o­narmos a cir­cun­fe­rência em torno do eixo x, ob­te­remos uma es­fera de centro na origem e raio r.

Temos que a equação da cir­cun­fe­rência é:

Como a es­fera tem centro na origem, temos que a = 0 e b = 0, logo:

Para en­con­trarmos o vo­lume desta es­fera, vamos supor fa­tias de lar­guras in­fi­ni­te­si­mais dx e raio y.

O vo­lume do ci­lindro é dado por:

Como o raio do ci­lindro de al­tura in­fi­ni­te­simal é igual a dx e seu raio da base é igual a y, po­demos re­es­crever a fór­mula de seu vo­lume como:

Po­demos dizer que a es­fera é for­mada por in­fi­nitos ci­lin­dros de al­turas in­fi­ni­te­si­mais dx, onde seu raio y é va­riável para cada ci­lindro.

A soma desses ci­lin­dros de al­turas in­fi­ni­te­si­mais é dado pela in­te­gral de­fi­nida:

Como:

Temos:

Apli­cando a in­te­gral:

Que é a fa­mosa fór­mula para o cál­culo do vo­lume de uma es­fera.

Se de­ri­varmos seu vo­lume em re­lação ao raio r, ob­temos sua área:

Luiz Fernando Ziul Odnanref

Pro­fessor gra­duado em ma­te­má­tica pela Pon­ti­fícia Uni­ver­si­dade Ca­tó­lica de Minas Ge­rais (2010). Atu­al­mente é pro­fessor de ma­te­má­tica da Se­cre­taria de Edu­cação de Minas Ge­rais e da Par­ti­cular So­lução Ma­te­má­tica. Tem ex­pe­ri­ência na área de Ma­te­má­tica, com ên­fase em Li­cen­ci­a­tura Plena em Ma­te­má­tica. É também Cri­ador da Pá­gina So­lução Ma­te­má­tica pelo fa­ce­book. Mais in­for­ma­ções acesse minha pá­gina.