Escalonamento ou o Método da Eliminação de Gauss

Escalonamento ou o Método da Eliminação de Gauss

A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador no campo da Álgebra Linear, onde muitos problemas são equivalentes ao estudo de um sistema de equações lineares.

Procurei neste artigo evitar todo o rigor matemático do método aplicado no Cálculo Numérico, sem abrir mão de um mínimo de formalismo necessário para o bom entendimento.

Os métodos diretos que aprendemos no ensino médio como por substituição só é prático para duas equações a duas incógnitas; para outros casos destaca-se a regra de Cramer. Esse método, se aplicado a um sistema de n x n envolve um cálculo de (n + 1) determinantes de ordem n. Se n = 20, por exemplo, o total de operações efetuadas será de 21 x 20! x 19 multiplicações mais um número semelhante de adições. Assim, se um computador que efetue cerca de cem milhões de multiplicações por segundo, levaria 3 x 10⁵ anos para efetuar as operações necessárias.

Claro que na época de Gauss não existia computador. Imaginem como era para resolver sistemas com n = 4, n = 5, n = 10.

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com a matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata.

Uma equação linear no campo dos números Reais pode ser representada como:

onde e os x_i são indeterminados, ou seja as incógnitas ou variáveis. Os escalares a_i são chamados coeficientes de x­_i­ respectivamente, e b é chamado de constante ou termo independente.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações com n incógnitas. Neste estudo, vamos nos concentrar em sistemas lineares do tipo n x n, onde o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Considere o sistema linear Ax = b:

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar convenientemente o sistema linear original para obter um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.

Para modificar convenientemente um sistema linear num equivalente, podemos fazer uso do teorema abaixo:

Teorema: Seja Ax = b um sistema linear n x n. Aplicamos sobre as equações desse sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre:

i) trocar duas equações ou duas colunas;

ii) multiplicar uma equação por uma constante não-nula;

iii) adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação.

Assim, obteremos um novo sistema A'x = b' de modo que os sistemas Ax = b e A'x = b' são equivalentes.

Considere o sistema de equações lineares dado em (1). A triangularização do sistema é dada como segue:

1) Transpomos equações de modo que o termo a₁₁ seja não-nulo;

2) Para cada i > 1, aplicamos a operação:

Substituímos a i-ésima equação linear L_i pela equação equivalente resultante da multiplicação da equação L₁ por –a_i1 somada ao produto da equação L_i por a₁₁.

Com isso eliminamos o termo a_i1 da equação L_i:

Esse processo elimina uma incógnita de equações sucessivas até, por fim, encontrarmos somente:

Que nos dá de imediato o valor de x_n.

Substituindo x_n na equação L_{n – 1}, obteremos o valor de x_{n – 2} e assim sucessivamente.

Exemplo 1: Considere o sistema de equações abaixo. Encontre os valores de x, y e z.

Primeiramente, vemos que o termo a₁₁ é não-nulo e igual a 2. Vemos identificar cada equação como:

Etapa 1: Eliminando a incógnita x da segunda e terceira equações.

Primeiramente vamos eliminar a incógnita x da equação L₂. Assim, devemos aplicar a operação:

Então, fazemos:

Somando termo a termo, temos:

Eliminemos agora a incógnita x da terceira equação:

Somando termo a termo, temos:

Obtemos, assim, um sistema equivalente ao original, mas com as primeiras incógnitas eliminadas:

Etapa 2: Eliminando a incógnita y da terceira equação.

Agora vamos eliminar a incógnita y da terceira equação. Aplicamos a operação:

Somando termo a termos, obtemos:

Obtemos agora um sistema linear triangular superior:

Agora fica fácil a resolução. Vejam que a equação 3 já nos fornece diretamente o valor da incógnita z:

Substituímos z na equação 2 obtendo:

Substituímos z e y na equação 1, obtendo:

O sistema de equações lineares tem solução única e é dado pela 3-upla (1, 2, –3).

Para verificarmos se a solução encontrada é consistente, basta substituir os valores encontrados nas equações dadas e checar as igualdades.

Exemplo 2: Encontre uma solução para o sistema linear abaixo.

Etapa 1: Eliminando a incógnita x da segunda e terceira equações.

Obtemos o sistema equivalente:

Etapa 2: Eliminando a incógnita y da terceira equação.

Obtemos o sistema equivalente:

Temos diretamente que:

Substituindo z na segunda equação, temos que:

Substituindo z e y na primeira equação, obtemos:

Logo, a solução única para o sistema dado é a 3-upla (–3, 5, 0).

Exemplo 3: Encontre a solução para o sistema linear abaixo:

Neste caso, podemos transpor linhas e colunas:

Etapa 1: Eliminando a incógnita y da segunda equação.

Obtemos o sistema equivalente:

Etapa 2: Eliminando a incógnita x da terceira equação.

Obtemos o sistema equivalente:

Temos diretamente que:

Substituindo z na segunda equação, temos que:

Substituindo z e x na primeira equação, obtemos:

Logo, a solução única para o sistema dado é a 3-upla (1, 2, 3).

Veja uma outra abordagem para o método no blog Fatos Matemáticos sobre O Método de Eliminação de Gauss.

Referências:

[1] Álgebra Linear – Seymour Lipschutz – Coleção Schaum – Ed. McGraw-Hill

[2] Cálculo Numérico – Márcia A. G. Ruggiero – Ed. Makron Books