Os Pontos de Brocard (Parte 1)

Os Pontos de Brocard (Parte 1)

Nesta série de postagem, apresentaremos um estudo sobre os Pontos de Brocard, envolvendo definições, teoremas, corolários, demonstrações e construções geométricas. Resolvemos dividi-la para que não fique cansativo para o leitor acompanhar.

Por: 

Kleber Kilhian

Paulo Sérgio C. Lino

1 – Introdução 

Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard nasceu a 12 de maio de 1845 em Vignot, França e morreu em 16 de janeiro de 1922 em Bar-le-Duc, França.

Brocard passou a maior parte de sua vida estudando meteorologia como um oficial da marinha francesa, mas suas contribuições notáveis são na matemática.

Suas descobertas mais conhecidas talvez tenham sido os pontos de Brocard, o triângulo de Brocard e o círculo de Brocard. Neste artigo, vamos nos limitar aos pontos de Brocard.

Durante uma reunião da Associação Francesa para Avanço da Ciência, Brocard apresentou um artigo intitulado "Etudes d’un nouveau cercle Du plan Du triangle", seu primeiro trabalho sobre o assunto.

2 – Definições 

Os Pontos de Brocard são pontos especiais dentro de um triângulo e podem ser definidos como:

Definição 1: Em um triângulo de vértices A1A2A3, (rotulados no sentido anti-horário) denotado por (T)=A1A2A3, existe um ponto único Ω tal que os ângulos ∠ΩA1A2=∠ΩA2A3=∠ΩA3A1 são iguais. O ponto Ω é chamado de 1º Ponto de Brocard.

Definição 2: Num mesmo triângulo de vértices A1A2A3  (rotulados no sentido anti-horário) denotado por (T′)=A1A2A3,  existe um ponto único Ω′ tal que os ângulos ∠Ω′A1A3=∠Ω′A3A2=∠Ω′A2A1 são iguais. O ponto Ω′ é chamado de 2º Ponto de Brocard. 

[Figura 1]

Note que os ângulos ω=∠ΩA1A2=∠ΩA2A3=∠ΩA3A1 e ω′=∠Ω′A1A2=∠Ω′A2A3=∠Ω′A3A1 são iguais. Este ângulo em comum é chamado de Ângulo de Brocard.

Os dois Pontos de Brocard estão intimamente relacionados entre si. Na verdade, a única diferença entre Ω e Ω′ é que o segundo ponto de Brocard é obtido de (T) por uma mudança de orientação. Os Pontos de Brocard são conjugados isogonais um do outro.

3 – Construção Geométrica     

Uma construção elegante do 1º Ponto de Brocard pode ser descrita como: Num triângulo (T)=A1A2A3 com lados opostos a1,a2,a3 descreva uma circunferência que passe pelos pontos A1 e A2 que seja tangente ao lado a1. Da mesma forma, descreva uma circunferência que passe por A2 e A3 que seja tangente ao lado a2. Descreva uma terceira circunferência que passe por A3 e A1 que seja tangente ao lado a3. A intersecção dessas três circunferências gera o 1º Ponto de Brocard denotado por Ω.

Sua construção geométrica com régua e compasso por ser feita como se segue:

1) Construa um triângulo (T)=A1A2A3 qualquer.

[Figura 2]

2) Descreva uma circunferência C1 de centro O1 que passe pelos pontos A1 e A2 e que seja tangente ao lado a1 em A2. Para isso, trace um segmento ortogonal ao lado a1 por A2. Em seguida, trace a mediatriz do lado a3. A intersecção desses dois segmentos é o centro O1 da circunferência C1 de raio O1A1=O1A2.

[Figura 3]

3) Analogamente, construímos a circunferência C2 de centro O2 que passa pelos pontos A2 e A3, tangente ao lado a2 em A3 . Trace um segmento ortogonal ao lado a2 por A3 e trace a mediatriz do lado a1, determinando o centro O2 da circunferência C2.

[Figura 4]

4) Da mesma forma construímos a circunferência C3 de centro O3 que passa pelos pontos A1 e A3, tangente ao lado a3 por A1. Trace um segmento ortogonal ao lado a3 por A1 e trace a mediatriz do lado a2, determinando o centro O3 da circunferência C3.

[Figura 5]

5) O ponto triplo dado pela intersecção das três circunferências é o 1º Ponto de Brocard, designado por Ω. Unindo o ponto Ω a cada um dos vértices do triângulo, determinamos o ângulo ω, tal que:

ω=∠ΩA1A2=∠ΩA2A3=∠ΩA3A1

[Figura 6]

Para a construção do 2º Ponto de Brocard, basta seguir o mesmo procedimento descrito acima tomando a orientação inversa. Unindo o ponto Ω′ a cada vértice do triângulo, determinamos o ângulo ω′, tal que:

ω′=∠Ω′A1A2=∠Ω′A2A3=∠Ω′A3A1

[Figura 7]

Assim, temos que ω=ω′.