CorreaMani: Os Pontos de Brocard (Parte 2)

Os Pontos de Brocard (Parte 2)

Na primeira postagem desta série, vimos as definições dos Pontos de Brocard e suas construções geométricas. Nesta postagem, veremos algumas propriedades importantes, teorema, corolários e suas respectivas demonstrações.

Por:

Kleber Kilhian

Paulo Sérgio C. Lino

4 - Propriedades Importantes

Somente a construção geométrica dos Pontos de Brocard e sua demonstração, por si só, já é um fato interessantíssimo, e único, num triângulo qualquer. Durante este estudo, foi encontrada algumas propriedades e relações muito interessantes, que seguem a seguir.

Teorema 1: Em um triângulo (T)=A1A2A3, existe um ponto único denotado por Ω, tal que:

∠ Ω A 1 A 2 = ∠ Ω A 2 A 3 = ∠ Ω A 3 A 1

Demonstração: A existência deste ponto foi apresentada na postagem anterior. Para a unicidade, suponha que exista um ponto

Ω no triângulo

(T)=A1A2A3, tal que:

∠ Ω A 1 A 2 = ∠ Ω A 2 A 3 = ∠ Ω A 3 A 1

Assim, o segmento

A2A3 é tangente em

A2 ao círculo

C1 que passa pelos pontos

A1,

Ω e

A2. Isto pode ser provado observando que o triângulo

O1ΩA2 é isósceles.

[Figura 8]

Pelas propriedades existentes num triângulo isósceles, segue que:

ω = θ 2 = ( 180 \circ - 2 β ) 2 = 90 \circ - β \Rightarrow

β + ω = 90 \circ

Demonstrando, assim, que o segmento

A2A3 é tangente ao círculo

C1 em

A2. Isto significa que

Ω é um ponto em comum aos três círculos, sendo que os lados do triângulo

(T) são tangentes a cada círculo. Reciprocamente é possível provar que os três círculos

C1,

C2 e

C3 onde

C1 é tangente a

A2A3 e passa por

A1;

C2 é tangente a

A1A3 e passa por

A2 e finalmente

C3 é tangente a

A1A2 e passa pelo ponto

A3 são concorrentes em um único ponto que está necessariamente no interior do triângulo

(T). Desta forma,

Ω é único.

Teorema 2: Em um triângulo (T)=A1A2A3, de ângulos internos α1, α2 e α3 e lados opostos a1, a1 e a3, respectivamente, contendo o ponto Ω, existe o ângulo ω tal que ω=∠ΩA1A2=∠ΩA2A3=∠ΩA3A1, de modo que vale a relação:

cot (ω) = cot (α 1) + cot (α 2) + cot (α 3)

Demonstração: Considere o triângulo abaixo:

[Figura 9]

Aplicando a lei dos senos no triângulo

A1A3Ω, obtemos:

A 3 Ω sen ( α 1 - ω ) = a 2 sen ( 180 \circ - α 1 )

A 3 Ω sen ( α 1 - ω ) = a 2 sen ( α 1 ) (1)

Note que pelo Teorema do Ângulo Externo

α1=ω+(α1−ω).

Analogamente, aplicando a lei dos senos no triângulo

A2A3Ω, obtemos:

A 3 Ω sen ( ω ) = a 1 sen ( α 1 + α 2 ) = a 1 sen ( 180 \circ - α 1 - α 2 )

A 3 Ω sen ( ω ) = a 1 sen ( α 3 ) (2)

Aplicnado a lei dos senos no triângulo

A1A2A3, obtemos:

a 1 sen ( α 1 ) = a 2 sen ( α 2 ) (3)

(1) e

(2), temos:

a 2 \cdot sen ( α 1 - ω ) sen ( α 1 ) = a 1 \cdot sen ( ω ) sen ( α 3 )

a 2 a 1 = sen ( α 1 ) \cdot sen ( ω ) sen ( α 1 - ω ) \cdot sen ( α 3 ) (4)

Mas de

(3), temos que:

a 2 a 1 = sen ( α 2 ) sen ( α 1 )

De modo que:

sen ( α 2 ) sen ( α 1 ) = sen ( α 1 ) \cdot sen ( ω ) sen ( α 1 - ω ) \cdot sen ( α 3 )

sen ( α 1 - ω ) \cdot sen ( α 2 ) \cdot sen ( α 3 ) sen ( α 1 ) \cdot sen ( ω ) = sen (α 1) (5)

Mas,

a1+a2+a3=180∘, de modo que:

sen (α 1) = sen (180 \circ - α 2 - α 3)

sen (α 1) = sen (α 2 + α 3) (6)

Substituindo

(6) em

(5), obtemos:

sen ( α 1 - ω ) \cdot sen ( α 2 ) \cdot sen ( α 3 ) sen ( α 1 ) \cdot sen ( ω ) = sen (α 2 + α 3) (7)

Mas,

sen (α 1 - ω) = sen (α 1) \cdot cos (ω) - sen (ω) \cdot cos (α 1)

De modo que:

sen ( α 1 - ω ) sen ( α 1 ) \cdot sen ( ω ) = cot (ω) - cot (α 1) (8)

Substituindo

(8) em

(7), segue que:

(cot (ω) - cot (α 1)) \cdot sen (α 2) \cdot sen (α 3) = sen (α 2 + α 3)

(cot (ω) - cot (α 1)) \cdot sen (α 2) \cdot sen (α 3) = sen (α 2) \cdot cos (α 3) + sen (α 3) \cdot cos (α 2)

cot (ω) - cot (α 1) = sen ( α 2 ) \cdot cos ( α 3 ) + sen ( α 3 ) \cdot cos ( α 2 ) sen ( α 2 ) \cdot sen ( α 3 )

cot (ω) - cot (α 1) = cot (α 3) + cot (α 2)

cot (ω) = cot (α 1) + cot (α 2) + cot (α 3) (9)

Corolário 1: Se α1=α2=α3=60∘, então:

ω = 30 \circ

Demonstração: Como

α1=α2=α3=60∘, fatoramos a expressão

(9):

cot (ω) = 3 cot (60 \circ) cot (ω) = 3 tan ( 60 \circ ) = 3 3 \sqrt tan (ω) = 3 \sqrt 3 ω = 30 \circ

Corolário 2: Do Teorema

2, segue que:

cot 2 (ω) = cot 2 (α 1) + cot 2 (α 2) + cot 2 (α 3) + 2

Demonstração: Elevando ao quadrado ambos os membro da expressão

(9), obtemos:

cot 2 (ω) = [cot (α 1) + cot (α 2) + cot (α 3)] 2

cot 2 (ω) = cot 2 (α 1) + cot 2 (α 2) + cot 2 (α 3) + 2 cot (α 1) cot (α 2) + 2 cot (α 1) cot (α 3) + 2 cot (α 2) cot (α 3) (10)

Mas,

cot (α 1) cot (α 2) + cot (α 1) cot (α 3) + cot (α 2) cot (α 3) =

= cot (α 1) cot (α 2) + cot (α 3) [cot (α 1) + cot (α 2)] =

= cos ( α 1 ) cos ( α 2 ) sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) + cos ( 180 \circ - α 1 - α 2 ) sen ( 180 \circ - α 1 - α 2 ) \cdot [cot (α 1) + cot (α 2)] =

= cos ( α 1 ) cos ( α 2 ) sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) - cos ( α 1 + α 2 ) sen ( α 1 + α 2 ) \cdot [cos ( α 1 ) sen ( α 1 ) + cos ( α 2 ) sen ( α 2 ) sen ( α 1 ) sen ( α 2 )] =

= cos ( α 1 ) cos ( α 2 ) sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) - cos ( α 1 + α 2 ) sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) =

= cos ( α 1 ) cos ( α 2 ) - [ cos ( α 1 ) cos ( α 2 ) - sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) ] sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) =

sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) sen ( α 1 ) sen ( α 2 ) = 1

Assim, da expressão

(10) segue que:

cot 2 (ω) = cot 2 (α 1) + cot 2 (α 2) + cot 2 (α 3) + 2 (11)

Corolário 3: Do Teorema

2, segue que:

1 sen 2 ( ω ) = 1 sen 2 ( α 1 ) + 1 sen 2 ( α 2 ) + 1 sen 2 ( α 3 )

Demonstração: da expressão

11, de outro modo, usando a relação trigonométrica fundamental:

cos 2 (θ) + sen 2 (θ) = 1

De fato:

cos 2 ( ω ) sen 2 ( ω ) = cos 2 ( α 1 ) sen 2 ( α 1 ) + cos 2 ( α 2 ) sen 2 ( α 2 ) + cos 2 ( α 3 ) sen 2 ( α 3 ) + 2

1 - sen 2 ( ω ) sen 2 ( ω ) = 1 - sen 2 ( α 1 ) sen 2 ( α 1 ) + 1 - sen 2 ( α 2 ) sen 2 ( α 2 ) + 1 - sen 2 ( α 3 ) sen 2 ( α 3 ) + 2

1 sen 2 ( ω ) - 1 = 1 sen 2 ( α 1 ) - 1 + 1 sen 2 ( α 2 ) - 1 + 1 sen 2 ( α 3 ) - 1 + 2

1 sen 2 ( ω ) = 1 sen 2 ( α 1 ) + 1 sen 2 ( α 2 ) + 1 sen 2 ( α 3 ) (12)

CorreaMani

domingo, 10 de agosto de 2014

Os Pontos de Brocard (Parte 2)

Os Pontos de Brocard (Parte 2)

4 - Propriedades Importantes

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